Question

3．（m+x）（1+x）³的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为16，则${∫}_{-1}^{1}$x^mdx=0．

Answer 1

分析 由二项式定理和赋值法可得m的值，求定积分可得．

解答 解：由题意设f（x）=（m+x）（1+x）³=a₀+a₁x+a₂x²+a₃x³+a₄x⁴，
令x=1，则a₀+a₁+a₂+a₃+a₄=f（1）=8（m+1），①
令x=-1，则a₀-a₁+a₂-a₃+a₄=f（-1）=0．②
①-②得，2（a₁+a₃）=8（m+1），
∴2×16=8（m+1），解得m=3．
∴${∫}_{-1}^{1}$x^mdx=${∫}_{-1}^{1}$x³dx=0，
故答案为：0

点评 本题考查定积分的运算，涉及二项式定理，属基础题．