Question

【题目】已知函数．

（1）求函数在区间上的最大、最小值；

（2）求证：在区间上，函数的图象在函数的图象的下方．

Answer 1

【答案】（1）由已知，

当时，，

所以函数在区间上单调递增，

所以函数在区间上的最大、最小值分别为，，

所以函数在区间上的最大值为，最小值为；

（2）证明：设，则．

因为，所以，

所以函数在区间上单调递减，

又，所以在区间上，，即，

所以在区间上函数的图象在函数图象的下方．

【解析】

（1）求得函数的导数，得到函数的单调性，进而求解函数的最值；

（2）由题意，设，求得，利用导数求得函数的单调性和最小值，即作出证明．

解：(1)由f(x)＝x2＋ln x有f′(x)＝x＋，

当x∈[1，e]时，f′(x)>0，

所以f(x)max＝f(e)＝e2＋1.

f(x)min＝f(1)＝.

(2)设F(x)＝x2＋ln x－x3，

则F′(x)＝x＋－2x2＝，

当x∈[1，＋∞)时，F′(x)<0，

且F(1)＝－<0故x∈[1，＋∞)时F(x)<0，

所以x2＋ln x<x3，得证．