题目内容
【题目】已知函数.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)若函数在区间
上是单调递增函数,求实数
的最大值;
(Ⅲ)若关于的方程
在区间
内有两个实数根
,分别求实数
与
的取值范围.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)
;(Ⅲ)
,
【解析】
(Ⅰ)利用二倍角公式和两角和公式对函数解析式化简,代入即可.
(Ⅱ)根据三角函数的图象与性质求得函数的增区间,进而确定的范围.
(Ⅲ)把方程的根的问题转化为两函数图象交点的问题,确定的范围,根据函数的对称,求得
的值,进而表示出
的表达式,利用二次函数的性质确定其范围.
(Ⅰ)∵
∴
(Ⅱ)由
得
∴在区间
上是增函数
∴当时,
在区间
上是增函数
若函数在区间
上是单调递增函数,则
∴, 解得
∴的最大值是
(Ⅲ)方程在区间
内有两实数根
等价于
直线与曲线
(
)有两个交点.
∵当时, 由(Ⅱ)知
在
上是增函数,在
上是减函数, 且
∴
即实数的取值范围是
∵函数的图象关于
对称
∴.
∵,∴
.
∴.
∵函数在
内递增
∴
∴
的取值范围为
.
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