题目内容
【题目】已知圆:
,直线
.
(1)若直线与圆
相切,求
的值;
(2)若直线与圆
交于不同的两点
,当∠AOB为锐角时,求k的取值范围;
(3)若,
是直线
上的动点,过
作圆
的两条切线
,切点为
,探究:直线
是否过定点。
【答案】(1) ; (2)
或
; (3)
.
【解析】
(1)由直线l与圆O相切,得圆心O(0,0)到直线l的距离等于半径r=,由此能求出k.
(2)设A,B的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),将直线l:y=kx﹣2代入x2+y2=2,得(1+k2)x2﹣4kx+2=0,由此利用根的判断式、向量的数量积公式能求出k的取值范围.
(3)由题意知O,P,C,D四点共圆且在以OP为直径的圆上,设P(t,),其方程为
,C,D在圆O:x2+y2=2上,求出直线CD:(x﹣
)t﹣2y﹣2=0,联立方程组能求出直线CD过定点(
).
(1)由圆心O到直线l的距离,可得k=±1。
(2)设A,B的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),
将直线l:y=kx-2代入x2+y2=2,整理,得(1+k2)·x2-4kx+2=0,
所以,Δ=(-4k)2-8(1+k2)>0,即k2>1当∠AOB为锐角时,
则
,可得k2<>
又因为k2>1,故k的取值范围为或
。
(3)设切点C,D的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),
动点P的坐标为(x0,y0),则过切点C的切线方程为:x·x1+y·y1=2,所以x0·x1+y0·y1=2
同理,过切点D的切线方程为:x0·x2+y0·y2=2,
所以过C,D的直线方程为:x0·x+y0·y=2
又,将其代入上式并化简整理,
得,而x0∈R,
故且-2y-2=0,可得
,y=-1,即直线CD过定点
。
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