Question

20．大气能见度和雾霾、降雨等天气情况密切相关，而大气能见度直接影响车辆的行车速度V（千米/小时）和道路的车流密度M（辆/千米），经有关部门长时间对某道路研究得出，大气能见度不足100米时，为保证安全，道路应采取封闭措施，能见度达到100米后，车辆的行车速度V和大气能见度x（米）近似满足函数V（x）$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{10}x+10，100≤x＜800}\\{90，x≥800}\end{array}\right.$，已知道路的车流密度M（辆/千米）是大气能见度x（米）的一次函数，能见度为100时，车流密度为160；当能见度为500时，车流密度为为80．
（1）当x≥100时，求道路车流密度M与大气能见度x的函数解析式；
（2）当车流量F（x）的解析式（车流量=行车速度×车流密度）；
（3）当大气能见度为多少时，车流密度会达到最大值，并求出最大值．

Answer 1

分析 （1）利用待定系数法求道路车流密度M与大气能见度x的函数解析式；
（2）根据题意，函数F（x）表达式为分段函数的形式；
（3）由（2），分段求最值，即可得出结论．

解答 解：（1）设道路车流密度M与大气能见度x的函数解析式为M（x）=kx+b，
由题意，$\left\{\begin{array}{l}{100k+b=160}\\{500k+b=80}\end{array}\right.$，∴k=-$\frac{1}{5}$，b=180，
∴M（x）=-$\frac{1}{5}$x+180，x≥100；
（2）∵车流量=行车速度×车流密度，
∴F（x）=$\left\{\begin{array}{l}{（\frac{1}{10}x+10）（-\frac{1}{5}x+180）=-\frac{1}{50}{x}^{2}+16x+1800，100≤x＜800}\\{90（-\frac{1}{5}x+180）=-18x+16200，x≥800}\end{array}\right.$；
（3）当100≤x＜800时，F（x）=-$\frac{1}{50}$（x-400）²+5000，
当x=400时，其最大值为5000，
当x≥800时，F（x）=-18x+16200为减函数，
∴当x=800时，其最大值为1800．
综上，当大气能见度为400米时，车流密度会达到最大值，最大值为5000辆/小时．

点评 本题给出车流密度的实际问题，求车流密度最大值及相应的车流密度，着重考查了函数、最值等基础知识，同时考查运用数学知识解决实际问题的能力，属于中档题．