Question

15．给出下列四个命题：
①函数y=$\frac{|x+3|-3}{\sqrt{2-{x}^{2}}}$为奇函数；
②y=2${\;}^{\sqrt{x}}$的值域是（1，+∞）
③函数y=$\frac{1}{x}$在定义域内是减函数；
④若函数f（2^x）的定义域为[1，2]，则函数y=f（$\frac{x}{2}$）定义域为[4，8]
其中正确命题的序号是①④．（填上所有正确命题的序号）

Answer 1

分析 ①先求出函数的定义域，进行化简结合函数奇偶性的定义进行判断．
②根据指数函数的性质进行判断．
③根据函数的单调性的性质进行判断．
④根据复合函数定义域之间的关系进行判断即可．

解答 解：①由2-x²＞0得-$\sqrt{2}$＜x＜$\sqrt{2}$，则函数的定义域为（-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$），
则函数y=$\frac{|x+3|-3}{\sqrt{2-{x}^{2}}}$=$\frac{x+3-3}{\sqrt{2-{x}^{2}}}$=$\frac{x}{\sqrt{2-{x}^{2}}}$，则f（-x）=$\frac{-x}{\sqrt{2-{x}^{2}}}$=-$\frac{x}{\sqrt{2-{x}^{2}}}$=-f（x），则函数f（x）为奇函数；故①正确，
②y=2${\;}^{\sqrt{x}}$≥2⁰=1，即函数的值域是[1，+∞），故②错误，
③函数y=$\frac{1}{x}$在定义域内不是单调函数，故③错误；
④若函数f（2^x）的定义域为[1，2]，则1≤x≤2，则2≤2^x≤4，即函数f（x）的定义域为[2，4]，
由2≤$\frac{x}{2}$≤4，得4≤x≤8，即函数y=f（$\frac{x}{2}$）定义域为[4，8]，故④正确，
故答案为：①④

点评 本题主要考查命题的真假判断，涉及函数的性质，知识点较多，综合性较强，难度不大．