Question

已知实数x＞0，y＞0，0＜λ＜2，且x+y=3，则

1

x

+

2

(2-λ)y

+

2

λy

的最小值为（　　）

• A、

  3

  2

• B、2
• C、

  8

  3

• D、3

Answer 1

考点：基本不等式

专题：不等式的解法及应用

分析：由于实数x＞0，y＞0，x+y=3，可得2x+（2-λ）y+λy=6．变形为∴

1

x

+

2

(2-λ)y

+

2

λy

=

1

6

[2x+(2-λ)y+λy][

2

2x

+

2

(2-λ)y

+

2

λy

]，利用基本不等式的性质即可得出．

解答： 解：∵实数x＞0，y＞0，x+y=3，
∴2x+（2-λ）y+λy=6．
∴

1

x

+

2

(2-λ)y

+

2

λy

=

1

6

[2x+(2-λ)y+λy][

2

2x

+

2

(2-λ)y

+

2

λy

]
≥

1

3

•3

3	2x•(2-λ)y•λy

•3

3	1 2x • 1 (2-λ)y • 1 λy

=3，
当且仅当2x=（2-λ）y=λy，x+y=3，即x=1，y=2，λ=1时取等号．
∴

1

x

+

2

(2-λ)y

+

2

λy

的最小值为3．
故选：D．

点评：本题考查了变形利用基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．