Question

已知数列﹛a_n﹜的前n项和S_n=

(n+1)an

2

，且=1，设C_n=

an

an+1

+

an+1

an

，数列﹛C_n﹜的前n项和为T_n．
（1）求数列﹛a_n﹜的通项公式；
（2）求证：对任意正整数n，不等式2n＜T_n＜2n+1恒成立．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由题意利用公式法即可求得

an

an-1

=

n

n-1

，再由累乘法得出数列的通项公式；
（2）由（1）得C_n=

an

an+1

+

an+1

an

=

n

n+1

+

n+1

n

=2+

1

n

-

1

n+1

，利用裂项法求得T_n=2n+1-

1

n+1

，即可得出证明．

解答： 解：（1）∵S_n=

(n+1)an

2

，
∴2s_n=（n+1）a_n，①
n≥2时，2s_n-1=na_n-1，②
∴由①-②得，2a_n=（n+1）a_n-na_n-1，
∴

an

an-1

=

n

n-1

，
∴a_n=a₁•

a2

a1

…

an

an-1

=1×

2

1

×

3

2

×…×

n

n-1

=n，
∴a_n=n．
（2）由（1）得C_n=

an

an+1

+

an+1

an

=

n

n+1

+

n+1

n

=2+

1

n

-

1

n+1

，
∴T_n=c₁+c₂+…+c_n=2n+1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

=2n+1-

1

n+1

，
∵0＜1-

1

n+1

=

n

n+1

＜1，
∴2n＜T_n＜2n+1．

点评：本题主要考查数列通项公式的求法及裂项相消法求数列的和等知识，考查学生的运算求解能力，属于中档题．