Question

给出下列四个结论：
（1）方程x²+y²-2x-1=0表示的是圆；
（2）动点到两个定点的距离之和为定长，则动点的轨迹为椭圆；
（3）点M与点F（0，-2）的距离比它到直线l：y-3=0的距离小1的轨迹方程是x²=-8y；
（4）若双曲线

x2

4

+

y2

k

=1的离心率为e，且1＜e＜2，则k的取值范围是k∈（-12，0）；
其中正确结论的序号是

 

．

Answer 1

考点：轨迹方程

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程,简易逻辑

分析：化圆的一般式方程为标准式判断（1）；由椭圆的定义判断（2）；由抛物线的定义求解方程判断（3）；由双曲线离心率的求法判断（4）．

解答： 解：（1）方程x²+y²-2x-1=0可化为（x-1）²+y²=2，表示的是圆，命题（1）正确；
（2）动点到两个定点的距离之和为定长，设两定点的距离为2c，定长为2a，若2a＞2c，动点的轨迹为椭圆；
若2a=2c，动点的轨迹为以两定点为端点的线段；若2a＜2c，在实平面内，动点的轨迹不表示任何图形．命题（2）错误；
（3）由抛物线的定义可知，点M与点F（0，-2）的距离比它到直线l：y-3=0的距离小1的轨迹方程是x²=-8y，命题（3）正确；
（4）∵

x2

4

+

y2

k

=1表示双曲线，则k＜0，a=2，b=

-k

，c=

4-k

，
∴双曲线的离心率e=

4-k

2

，由1＜e＜2，得-12＜k＜0．
∴k的取值范围是（-12，0），命题（4）正确．
∴正确的命题是（1）（3）（4）．
故答案为：（1）（3）（4）．

点评：本题考查了命题的真假判断与应用，考查了圆锥曲线定义及其性质，是中档题．