Question

1．若直线1：ax+by+1=0（a＞0，b＞0）把圆C：（x+4）²+（y+1）²=16分成面积相等的两部分，则当ab取得最大值时，坐标原点到直线1的距离是（　　）

• A． 4
• B． 8$\sqrt{17}$
• C． 2
• D． $\frac{8\sqrt{17}}{17}$

Answer 1

分析 由题意，圆心（-4，-1）代入直线1：ax+by+1=0，可得4a+b=1，利用基本不等式求最值，可得a，b的值，再利用点到直线的距离公式，即可得出结论．

解答 解：由题意，圆心（-4，-1）代入直线1：ax+by+1=0，可得4a+b=1，
4a+b=1$≥4\sqrt{ab}$，∴ab≤$\frac{1}{16}$，当且仅当a=$\frac{1}{8}$，b=$\frac{1}{2}$时，ab取得最大值，
坐标原点到直线1的距离是$\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{64}+\frac{1}{4}}}$=$\frac{8\sqrt{17}}{17}$，
故选D．

点评 本题考查直线与圆的位置关系以及基本不等式的运用，关键是分析得到直线1：ax+by+1=0过圆的圆心．