Question

6．已知点M是圆E：（x+1）²+y²=8上的动点，点F（1，0），O为坐标原点，线段MF的垂直平分线交ME于点P，则动点P的轨迹方程为$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$．

Answer 1

分析 根据PE+PF=PE+PM=EM=2$\sqrt{2}$可知P点轨迹为椭圆，使用待定系数法求出即可．

解答 解：∵P在线段ME的垂直平分线上，
∴PF=PM，
∴PE+PF=PE+PM=EM=2$\sqrt{2}$，
∴P点轨迹为以E，F为焦点的椭圆，
设椭圆方程$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$，则2a=2$\sqrt{2}$，c=1，
∴a=$\sqrt{2}$，b=1．
∴P点轨迹为$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$．
故答案为$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}$=1．

点评 本题考查了椭圆的定义，轨迹方程的求解，属于中档题．