Question

12．已知函数f（x）=-x²+2lnx，g（x）=x+$\frac{a}{x}$
（1）求函数y=f（x）与y=g（x）有相同极值点，求实数a的值；
（2））若对于?x₁，x₂∈[$\frac{1}{e}$，3]（e为自然对数的底数），不等式$\frac{f（{x}_{1}）-g（{x}_{2}）}{k-1}$≤1恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）令f′（x）=0求出f（x）的极值点，代入g′（x）=0得出a的值；
（2）分别求出f（x），g（x）在[$\frac{1}{e}$，3]上的最大值和最小值，对k-1的符号进行讨论得出恒等式，解出k的范围．

解答 解：（1）f′（x）=-2x+$\frac{2}{x}$=$\frac{-2{x}^{2}+2}{x}$，g′（x）=1-$\frac{a}{{x}^{2}}$=$\frac{{x}^{2}-a}{{x}^{2}}$，
令f′（x）=0得x=1或x=-1（舍），
∵函数y=f（x）与y=g（x）有相同极值点，
∴g′（1）=1-a=0，∴a=1．
（2）由（1）可知f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，
g（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增．
∴f（x）在[$\frac{1}{e}$，3]上的最大值为f（1）=-1，最小值为f（3）=-9+2ln3．
g（x）在[$\frac{1}{e}$，3]上的最大值为g（3）=$\frac{10}{3}$，最小值为g（1）=2．
∴2ln3-$\frac{37}{3}$≤f（x₁）-g（x₂）≤-3．
∵不等式$\frac{f（{x}_{1}）-g（{x}_{2}）}{k-1}$≤1恒成立，
∴当k＞1时，-3≤k-1，∴k＞1．
当k＜1时，2ln3-$\frac{37}{3}$≥k-1，∴k≤2ln3-$\frac{34}{3}$．
综上，k的取值范围是（-∞，2ln3-$\frac{34}{3}$）∪（1，+∞）．

点评 本题考查了导数与函数单调性，极值，最值的关系，函数恒成立问题的解决方法，属于中档题．