Question

17．已知函数f（x）=$\frac{x}{lnx}$+mx（m为常数）．
（1）若y=f（x）在x=e²处的切线与直线4x+9y-2016=0垂直，求y=f（x）的单调区间；
（2）若不等式f（x）≤$\frac{{e}^{2}}{2}$在[e，e²]上值成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据导数的几何意义即可求出m的值，再根据导数和函数的单调性即可求出单调区间；
（2）分离参数，得到m≤$\frac{{e}^{2}}{2x}$-$\frac{1}{lnx}$，在x∈[e，e²]上值成立，构造函数g（x）=$\frac{{e}^{2}}{2x}$-$\frac{1}{lnx}$，利用导数求出g（x）的最大值即可．

解答 解：（1）∵f（x）=$\frac{x}{lnx}$+mx，x＞0，
∴∵y=f（x）在x=e²处的切线与直线4x+9y-2016=0垂直，
∴f′（e²）=$\frac{1}{4}$+m=$\frac{9}{4}$，
解的m=2，
∴f′（x）=$\frac{lnx-1}{l{n}^{2}x}$+2=$\frac{lnx-1+2l{n}^{2}x}{l{n}^{2}x}$=$\frac{（2lnx-1）（lnx+1）}{l{n}^{2}x}$，
令f′（x）=0，解得x=$\frac{1}{e}$或x=$\sqrt{e}$，
∴f′（x）＞0，解得0＜x＜$\frac{1}{e}$或x＞$\sqrt{e}$，函数单调递增，
f′（x）＜0，解得$\frac{1}{e}$＜x＜$\sqrt{e}$，函数单调递减，
∴f（x）在（0，$\frac{1}{e}$），（$\sqrt{e}$，+∞）单调递增，在（$\frac{1}{e}$，$\sqrt{e}$）上单调递减，
（2）∵f（x）≤$\frac{{e}^{2}}{2}$在[e，e²]上值成立，
∴m≤$\frac{{e}^{2}}{2x}$-$\frac{1}{lnx}$，在x∈[e，e²]上值成立，
设g（x）=$\frac{{e}^{2}}{2x}$-$\frac{1}{lnx}$，
∴g′（x）=$\frac{{e}^{2}}{-2{x}^{2}}$+$\frac{1}{xl{n}^{2}x}$=$\frac{2x-{e}^{2}l{n}^{2}x}{2{x}^{2}l{n}^{2}x}$
令h（x）=2x-e²ln²x，
∴h′（x）=2-$\frac{2{e}^{2}lnx}{x}$，
令m（x）=$\frac{lnx}{x}$，
则m′（x）=$\frac{1+lnx}{{x}^{2}}$＞0，在x∈[e，e²]上恒成立，
∴m（x）在x∈[e，e²]上单调递增，
∴m（x）_min=m（e）=2e，
∴h′（x）＜0，在x∈[e，e²]上恒成立，
∴h（x）x∈[e，e²]上单调递减，
∴h（x）_max=h（e）=2e（1-e）＜0，
∴g′（x）＜0，在x∈[e，e²]上恒成立，
∴g（x）在x∈[e，e²]上单调递减，
∴g（x）_max=g（e）=$\frac{e}{2}$-1，
∴m≤$\frac{e}{2}$-1，
故m的取值范围为（-∞，$\frac{e}{2}$]

点评 本题考查了导数的综合应用及恒成立问题，考查学生分析解决问题的能力，关键是多次构造函数，属于中档题．