Question

14．如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，设 AD=AA₁=1，AB=2，P是C₁D₁的中点，则$\overrightarrow{{B_1}C}与\overrightarrow{{A_1}P}$所成角的大小为60°，$\overrightarrow{{B_1}C}•\overrightarrow{{A_1}P}$=1．

Answer 1

分析 先建立空间坐标系，再根据向量的坐标运算和向量的夹角公式计算即可．

解答 解：以D为坐标原点，以DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，建立空间坐标系，如图所示，
∵AD=AA₁=1，AB=2，P是C₁D₁的中点，
∴B₁（1，2，1），C=（0，2，0），A₁（1，0，1），P（0，1，1），
∴$\overrightarrow{{B}_{1}C}$=（-1，0，-1），$\overrightarrow{{A}_{1}P}$=（-1，1，0），
∴$\overrightarrow{{B_1}C}•\overrightarrow{{A_1}P}$=1+0+0=1，|$\overrightarrow{{B}_{1}C}$|=$\sqrt{2}$，|$\overrightarrow{{A}_{1}P}$|=$\sqrt{2}$
设$\overrightarrow{{B_1}C}与\overrightarrow{{A_1}P}$所成角为θ，
∴cosθ=$\frac{1}{\sqrt{2}•\sqrt{2}}$=$\frac{1}{2}$，
∴θ=60°，
故答案为：60°，1

点评 本题考查了空间向量的坐标运算以及线线角的求法，属于基础题．