已知向量$\overrightarrow{a}$=.$\overrightarrow{b}$=(1.x)．(Ⅰ)若$\overrightarrow{a}$⊥($\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$).求|$\overrightarrow{b}$|的值,(Ⅱ)若$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow{b}$=.求向� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

9．已知向量$\overrightarrow{a}$=（2，-1），$\overrightarrow{b}$=（1，x）．
（Ⅰ）若$\overrightarrow{a}$⊥（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$），求|$\overrightarrow{b}$|的值；
（Ⅱ）若$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow{b}$=（4，-7），求向量$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$夹角的大小．

分析（I）由向量的加法和向量垂直的条件：数量积为0，可得x=7，再由向量的模的公式计算即可得到所求；
（II）运用向量的加法运算，可得x=-3，再由向量的夹角公式cos＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$＞=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}|•|\overrightarrow{b}|}$，计算即可得到所求夹角．

解答解：（I）依题意可得，$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$=（3，-1+x），
由$\overrightarrow{a}$⊥（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$），可得，$\overrightarrow{a}$•（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）=0，
即6+1-x=0，
解得x=7，即$\overrightarrow{b}$=（1，7），
所以$|b|=\sqrt{50}=5\sqrt{2}$；
（II）依题意$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow{b}$=（4，2x-1）=（4，-7），
可得x=-3，即$\overrightarrow{b}$=（1，-3），$\frac{2+3}{\sqrt{5}•\sqrt{10}}$
所以cos＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$＞=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}|•|\overrightarrow{b}|}$=$\frac{2+3}{\sqrt{5}•\sqrt{10}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
因为＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$＞∈[0，π]，
所以$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角大小是$\frac{π}{4}$．

点评本题考查向量的数量积的运算，主要考查向量的模的求法和夹角的求法，考查运算能力，属于中档题．