Question

已知函数f（x）=m2^x+t的图象经过点A（1，1），B（2，3）及C（n，S_n），S_n为数列{a_n}的前n项和．
（Ⅰ）求a_n及S_n；
（Ⅱ）数列{c_n}满足c_n=6na_n-n，若c_n≥λn恒成立，求实数λ的取值范围．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合,数列的求和

专题：不等式的解法及应用

分析：（Ⅰ）把A，B的坐标代入函数f（x）的解析式，求得m，t的值，则函数解析式可求，再把C的坐标代入，得到数列{a_n}的前n项和，则分类可求得数列的通项公式；
（Ⅱ）把数列{a_n}的通项公式代入c_n≥λn，分离参数λ，得到3•2ⁿ≥λ+1恒成立，由n∈N^*可得λ的取值范围．

解答： 解：（Ⅰ）∵函数f（x）=m2^x+t的图象经过点A（1，1），B（2，3），
则

2m+t=1 4m+t=3

，解得

m=1 t=-1

，
∴f（x）=2^x-1，
又C（n，S_n）在函数f（x）的图象上，
得Sn=2n-1．
当n=1时，a₁=S₁=1，
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=2n-1-(2n-1-1)=2n-1．
验证a₁=1适合上式，
则an=2n-1；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知cn=3n2n-n，
由c_n≥λn恒成立，得3n2ⁿ-n≥λn恒成立，
则3•2ⁿ≥λ+1恒成立，
∵n∈N^*，
∴λ≤5．
因此，λ的取值范围为（-∞，5]．

点评：本题考查数列的函数特性，考查了由数列的前n项和求通项，训练了利用分离变量法求参数的取值范围，是中档题．