Question

已知函数f（x）（x∈R）是偶函数，且f（2+x）=f（2-x），当x∈[0，2]时，f（x）=1-x，则方程f（x）=

1

1-|x|

在区间[-10，10]上的解的个数是

 

．

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质,函数的周期性

专题：常规题型,函数的性质及应用

分析：根据函数是偶函数结合函数满足f（2+x）=f（2-x），可求得函数是一个周期函数，且周期为4，故可以研究出一个周期上的函数图象，再研究所给的区间包含了几个周期即可知道在这个区间中的零点的个数．

解答： 解：函数f（x）是R上的偶函数，可得f（-x）=f（x），
又f（2-x）=f（2+x），可得f（4-x）=f（x），
故可得f（-x）=f（4-x），即f（x）=f（x+4），即函数的周期是4，
又x∈[0，2]时，f（x）=1-x，
要研究方程f（x）=

1

1-|x|

在区间[-10，10]上的解的个数
可将问题转化为y=f（x）与y=

1

1-|x|

在区间[-10，10]有几个交点，
画出两个函数的图象如图：

由图象可知，两图象有9个公共点，所以方程有9个解．
故答案为：9．

点评：本题考查函数的零点，求解本题，关键是研究出函数f（x）性质，作出其图象，将方程解的个数的问题转化为两个函数交点个数问题是本题中的一个亮点，此一转化使得本题的求解变得较容易．