已知函数 f.且满足关系式 f(x)=x3•$\int 0^2{xdx+{x^2}f'的值等于-9．题目和参考答案——青夏教育精英家教网——

题目内容

4．已知函数 f（x）的导数为 f'（x），且满足关系式 f（x）=x³•$\int_0^2{xdx+{x^2}f'（1）+3x}$，则 f'（2）的值等于-9．

分析先根据定积分的计算化简f（x），再求导，求出f′（1）的值，继而求出 f'（2）

解答解：f（x）=x³•$\int_0^2{xdx+{x^2}f'（1）+3x}$=x³•$\frac{1}{2}$x²|${\;}_{0}^{2}$+x²f′（1）+3x=2x³+x²f′（1）+3x，
∴f'（x）=6x²+2xf′（1）+3，
∴f'（1）=6+2f′（1）+3，
∴f'（1）=-9，
∴f'（2）=24-36+3=-9，
故答案为：-9

点评本题考查了导数的运算和定积分的计算，属于基础题．

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