Question

14．已知关于x的方程x²+2bx+c=0（b，c∈R）在[-1，1]上有实数根，0≤4b+c≤3，则b的取值范围是-1≤b≤2．

Answer 1

分析 设方程的根为x，则x²+2bx+c=0，求出c，代入0≤4b+c≤3，分离参数求最值，即可求出b的取值范围．

解答 解：设方程的根为x，则x²+2bx+c=0，
∴c=-x²-2bx（x∈[-1，1]），
∵0≤4b+c≤3，
∴0≤4b-x²-2bx≤3（x∈[-1，1]），
∴$\frac{{x}^{2}}{2-x}$≤2b≤$\frac{{x}^{2}+3}{2-x}$，
设2-x=t（t∈[1，3]），则$\frac{4}{t}$+t-4≤2b≤$\frac{7}{t}$+t-4，
∵t∈[1，3]，∴（$\frac{4}{t}$+t）_min=2，（$\frac{7}{t}$+t）_max=8，
∴-2≤2b≤4，
∴-1≤b≤2．
故答案为：-1≤b≤2．

点评 本题考查求参数的取值范围，考查分离参数方法的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．