Question

13．在三棱锥P-ABC中，若PA=PB=BC=AC=5，PC=AB=4$\sqrt{2}$，则其的外接球的表面积为41π．

Answer 1

分析 构造长方体，使得面上的对角线长分别为5，5，4$\sqrt{2}$，则长方体的对角线长等于三棱锥P-ABC外接球的直径，即可求出三棱锥P-ABC外接球的表面积．

解答 解：∵三棱锥P-ABC中，PA=PB=BC=AC=5，PC=AB=4$\sqrt{2}$，
∴构造长方体，使得面上的对角线长分别为5，5，4$\sqrt{2}$，
则长方体的对角线长等于三棱锥P-ABC外接球的直径．
设长方体的棱长分别为x，y，z，则x²+y²=25，y²+z²=25，x²+z²=32，
∴x²+y²+z²=41
∴三棱锥P-ABC外接球的直径为$\sqrt{41}$
∴三棱锥P-ABC外接球的表面积为4$π•（\sqrt{41}）^{2}$=41π．
故答案为：41π．

点评 本题考查球内接多面体，考查学生的计算能力，构造长方体，利用长方体的对角线长等于四面体外接球的直径是关键．