Question

15．已知函数f（x）=2sinωxcosωx+2$\sqrt{3}$sin²ωx-$\sqrt{3}$（ω＞0）的最小正周期为π
（1）求函数f（x）的单调减区间；
（2）将函数f（x）的图象向左平移$\frac{π}{6}$个单位，再向上平移1个单位，得到y=g（x）的图象，若y=g（x）在[0，b]上至少含有8个零点，求b的最小值．

Answer 1

分析 （1）利用三角恒等变换化简函数f（x）的解析式，再利用正弦函数的单调性求得函数f（x）的单调减区间．
（2）利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律求得g（x）的解析式，再根据g（x）在[0，b]上至少含有8个零点，求得b的最小值．

解答 解：（1）∵函数f（x）=2sinωxcosωx+2$\sqrt{3}$sin²ωx-$\sqrt{3}$=sin2ωx-$\sqrt{3}$cos2ωx=2sin（2ωx-$\frac{π}{3}$）（ω＞0）
的最小正周期为$\frac{2π}{2ω}$=π，∴ω=1，f（x）=2sin（2x-$\frac{π}{3}$）．
令2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，求得kπ+$\frac{5π}{12}$≤x≤kπ+$\frac{11π}{12}$，故函数的减区间为[kπ+$\frac{5π}{12}$，kπ+$\frac{11π}{12}$]，k∈Z．
（2）将函数f（x）的图象向左平移$\frac{π}{6}$个单位，再向上平移1个单位，得到y=g（x）=2sin（2x+$\frac{π}{3}$-$\frac{π}{3}$）+1=2sin2x+1的图象，
若y=g（x）在[0，b]上至少含有8个零点，
令g（x）=0，求得sin2x=-$\frac{1}{2}$，即2x=2kπ+$\frac{7π}{6}$，或 2x=2kπ+$\frac{11π}{6}$ k∈Z，
即x=kπ+$\frac{7π}{12}$，或x=kπ+$\frac{11π}{12}$，
故k=0，1，2，3，故b的最小值即函数g（x）的第8个零点（从小到大排列），即 3π+$\frac{11π}{12}$=$\frac{47π}{12}$．

点评 本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的单调性、零点，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于中档题．