Question

16．已知二次函数f（x）=x²+bx+c（b，c∈R），若f（-1）=f（2），且函数y=f（x）-x的值域为[0，+∞）．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若函数g（x）=2^x-k，当x∈[1，2]时，记f（x），g（x）的值域分别为A，B，若A∪B=A，求实数k的值．

Answer 1

分析 （1）由f（-1）=f（2），可得对称轴方程，解b的方程可得b=-1，求得y=f（x）-x的解析式，配方可得最小值，即可得到c的值，进而得到所求f（x）的解析式；
（2）运用f（x）在[1，2]递增，可得值域A；由g（x）在[1，2]递增，可得值域B．由A∪B=A，有B⊆A，可得k的不等式，解得k即可．

解答 解：（1）因为f（-1）=f（2），
可得对称轴为x=$\frac{1}{2}$，
即-$\frac{b}{2}$=$\frac{1}{2}$，
解得b=-1；
因为函数y=f（x）-x=x²-2x+c=（x-1）²+c-1的值域为[0，+∞），
所以c-1=0⇒c=1．
所以f（x）=x²-x+1；
（2）当x∈[1，2]时，f（x）=x²-x+1递增，
可得最小值为1，最大值为3，
即有A=[1，3]；
g（x）=2^x-k，当x∈[1，2]时，g（x）递增，
可得最小值为2-k，最大值为4-k，
即有B=[2-k，4-k]，
由A∪B=A，有B⊆A，
所以$\left\{\begin{array}{l}{2-k≥1}\\{4-k≤3}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{k≤1}\\{k≥1}\end{array}\right.$，
可得k=1．

点评 本题考查二次函数的解析式的求法，考查二次函数在闭区间上最值的求法和指数函数的单调性的运用，以及两集合的包含关系，考查运算能力，属于中档题．