Question

12．已知实数x，y满足不等式组$\left\{\begin{array}{l}x-y+2≥0\\ x+y-4≥0\\ 2x-y-5≤0\end{array}\right.$，则$\frac{{{{（x-y）}^2}}}{xy}$的取值范围是$[0，\frac{4}{3}]$．

Answer 1

分析 利用分式函数的性质结合换元法设t=$\frac{y}{x}$，进行转化，然后作出不等式组对应的平面区域，利用线性规划的知识进行求解即可．

解答 解：$\frac{{{{（x-y）}^2}}}{xy}$=$\frac{{x}^{2}-2xy+{y}^{2}}{xy}$=$\frac{x}{y}$+$\frac{y}{x}$-2，
设t=$\frac{y}{x}$，则$\frac{{{{（x-y）}^2}}}{xy}$=t+$\frac{1}{t}$-2
作出不等式组对应的平面区域如图：
则t=$\frac{y}{x}$的几何意义是区域内的点到原点的斜率，
由图象知OC的斜率最小，OB的斜率最大，
由$\left\{\begin{array}{l}{x-y+2=0}\\{x+y-4=0}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=3}\end{array}\right.$，即B（1，3），此时OB的斜率t=$\frac{3}{1}$=3，
由$\left\{\begin{array}{l}{x+y-4=0}\\{2x-y-5=0}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=1}\end{array}\right.$，即C（3，1），此时OC的斜率t=$\frac{1}{3}$，
即$\frac{1}{3}$≤t≤3，
∵y=t+$\frac{1}{t}$-2在$\frac{1}{3}$≤t≤1上递减，在1≤t≤3递增，
∴当t=1时，函数取得最小值y=1+1-2=0，
当t=3或$\frac{1}{3}$时，y=$\frac{1}{3}$+3-2=$\frac{4}{3}$，
即0≤y≤$\frac{4}{3}$，
即$\frac{{{{（x-y）}^2}}}{xy}$的取值范围是$[0，\frac{4}{3}]$，
故答案为：$[0，\frac{4}{3}]$．

点评 本题主要考查线性规划的应用，根据分式的性质，利用换元法进行转化结合基本不等式的性质是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．