Question

8．已知f（x）为定义在R上的偶函数，当x≥0时，有f（x+1）=-f（x），且当x∈[0，1）时，f（x）=log₂（x+1），给出下列命题：
①f（2014）+f（-2015）=0；
②函数f（x）在定义域上是周期为2的函数；
③直线y=x与函数f（x）的图象有2个交点；
④函数f（x）的值域为（-1，1）．
其中正确的是①④．

Answer 1

分析 当x≥0时，可得f（x+2）=f（x），故函数在[0，+∞）上周期为2，计算f（2014），f（-2015）判断①，计算f（$\frac{1}{2}$）和f（-$\frac{3}{2}$）判断②，通过判断y=x与f（x）=log₂（x+1）的交点个数判断③，利用函数的奇偶性与[0，4）上的值域判断④．

解答 解：（1）∵f（x+1）=-f（x），
∴f（x+2）=-f（x+1），
∴f（x）=f（x+2），（x≥0），
∴当x≥0时，f（x）的周期为T=2．
∵f（x）是偶函数，
∴f（2014）=f（0）=log₂1=0，
f（-2015）=f（2015）=f（1）=-f（0）=0，
∴f（2014）+f（-2015）=0，故①正确．
（2）∵f（$\frac{1}{2}$）=log₂$\frac{3}{2}$，f（-$\frac{3}{2}$）=f（$\frac{3}{2}$）=-f（$\frac{1}{2}$）=-log₂$\frac{3}{2}$，
∴f（-$\frac{3}{2}$）≠f（$\frac{1}{2}$），∴f（x）不是周期为2的函数，故②错误．
（3）当x∈[0，1）时，f′（x）=$\frac{1}{（x+1）ln2}$，∴f′（0）=$\frac{1}{ln2}$＞1，
∴直线y=x与f（x）=log₂（x+1）有两个交点，交点坐标分别为（0，0），（1，1）．
∵x≠1，∴直线y=x与函数f（x）的图象有1个交点（0，0）．故③错误．
（4）当x∈[0，1）时，f（x）=log₂（x+1）是增函数，∴f（x）∈[0，1），
∴当x∈[1，2）时，f（x）=-f（x-1）=-log₂x，∴f（x）∈（-1，0]，
∴f（x）在[0，+∞）上是周期为2的函数，且f（x）为偶函数，
∴f（x）的值域为（-1，1），故④正确．
故答案为：①④．

点评 本题考查了函数奇偶性，单调性，周期性的应用，函数零点的个数判断，属于中档题．