Question

18．已知f（x）=ax²+2ax+1在[-2，3]上的最大值为6，则f（x）的最小值为-74或$\frac{2}{3}$．．

Answer 1

分析 根据函数解析式确定函数对称轴和定点，数形结合确定最大值点，建立等量关系求解a的值，得到函数的表达式，从而求出f（x）的最小值即可．

解答 解：根据所给二次函数解析式可知，对称轴为x=-1，且恒过定点（0，1），
（1）当a＜0时，函数在[-2，-1]上单调递增，在[-1，3]上单调递减，
所以函数在x=-1处取得最大值，因为f（-1）=-a+1=6，所以a=-5，
∴f（x）=-5x²-10x+1，
∴f（x）_最小值=f（3）=-74；
（2）当a＞0时，函数在[-2，-1]上单调递减，在[-1，3]上单调递增，
所以函数在x=3处取得最大值，
因为f（3）=15a+1=6，所以a=$\frac{1}{3}$，
∴f（x）_最小值=f（-1）=$\frac{2}{3}$
故答案为：-74或$\frac{2}{3}$．

点评 本题考察二次函数的性质，对于给出最值求参题目，一般要结合题中所给解析式大致确定函数图象、分类讨论来研究，属于中档题．