Question

13．在直角坐标系xOy中，已知点P（1，-2），直线l：$\left\{\begin{array}{l}x=1+m\\ y=-2+m\end{array}$（m为参数），以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系；曲线C的极坐标方程为ρsin²θ=2cosθ；直线l与曲线C的交点为A，B．
（1）求直线l和曲线C的普通方程；
（2）求$\frac{1}{{|{PA}|}}$+$\frac{1}{{|{PB}|}}$的值．

Answer 1

分析 （1）将直线l参数m消掉，即可将参数方程转化为普通方程，利用公式$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$化简ρsin²θ=2cosθ，得到曲线C的普通方程；
（2）将直线l：转化成参数方程代入线C的普通方程，由韦达定理求得t₁+t₂和t₁•t₂，将$\frac{1}{{|{PA}|}}$+$\frac{1}{{|{PB}|}}$同分即可求得$\frac{1}{{|{PA}|}}$+$\frac{1}{{|{PB}|}}$的值．

解答 解：（1）依题意得：直线l的普通方程为x-y-3=0，
曲线C的普通方程为y²=2x…（4分）
（2）将直线l的方程化为$\left\{\begin{array}{l}x=1+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\\ y=-2+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\end{array}\right.$（t为参数）代入曲线C：y²=2x，
得：${t^2}-6\sqrt{2}t+4=0$，${t_1}+{t_2}=6\sqrt{2}，{t_1}{t_2}=4$，
所以$\frac{1}{{|{PA}|}}+\frac{1}{{|{PB}|}}=\frac{{|{PA}|+|{PB}|}}{{|{PA}|•|{PB}|}}=\frac{{6\sqrt{2}}}{4}=\frac{{3\sqrt{2}}}{2}$，
$\frac{1}{{|{PA}|}}$+$\frac{1}{{|{PB}|}}$=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$…（10分）

点评 本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、直线参数方程的应用、一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．