Question

15．已知椭圆C的中心为原点O，焦点在x轴上，且经过点${A_1}（-2，0），{A_2}（\sqrt{2}，\frac{{\sqrt{2}}}{2}）$
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）过抛物线y²=4x的焦点F的直线l与椭圆C交于不同两点M，N，且满足$\overrightarrow{OM}$⊥$\overrightarrow{ON}$，求直线l的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设椭圆方程，将A₁及A₂代入即可求得a和b的值，求得椭圆方程；
（Ⅱ）方法一：设直线l：x=my+1，代入椭圆方程，利用韦达定理，向量数量积的坐标运算，即可求得m的值，求得直线l的方程；
方法二：当直线l的斜率不存在时，不满足题意；当直线l的斜率存在时，设其方程为y=k（x-1），联立直线方程和椭圆方程，利用根与系数的关系求得M，N的横纵坐标的乘积，结合$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$=0，求得k值得答案．

解答 解：（Ⅰ）由题意可知设椭圆的标准方程：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞b＞0），
则a=2，将A₂（$\sqrt{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）代入$\frac{2}{4}+\frac{1}{2{b}^{2}}=1$，则b=1，
∴椭圆的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$；
（Ⅱ）方法一：抛物线y²=4x的焦点F（1，0），
设直线l的方程为x=my+1，M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），由$\overrightarrow{OM}$⊥$\overrightarrow{ON}$，则x₁x₂+y₁y₂=0（*），
由$\left\{\begin{array}{l}{x=my+1}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，消去x，得得（m²+4）y²+2my-3=0，△=16m²+48＞0
∴y₁+y₂=-$\frac{2m}{{m}^{2}+4}$，y₁y₂=-$\frac{3}{{m}^{2}+4}$，①
x₁x₂=（1+my₁）（1+my₂）=1+m（y₁+y₂）+m²y₁y₂；
=1+m×（-$\frac{2m}{{m}^{2}+4}$）+m²（-$\frac{3}{{m}^{2}+4}$），
=$\frac{4-4{m}^{2}}{{m}^{2}+4}$，②（9分）
将①②代入（*）式，得$\frac{4-4{m}^{2}}{{m}^{2}+4}$+（-$\frac{3}{{m}^{2}+4}$）=0，
解得m=±$\frac{1}{2}$，
存在直线l满足条件，且直线l的方程为2x-y-2=0或2x+y-2=0．
方法二：当直线l的斜率不存在时，不满足题意；
当直线l的斜率存在时，设其方程为y=k（x-1），
与C₁的交点为M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-1）}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，消去y并整理得（1+4k²）x²-8k²x+4（k²-1）=0，
于是x₁+x₂=$\frac{8{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{4（{k}^{2}-1）}{1+4{k}^{2}}$．①
∴y₁y₂=k²（x₁-1）（x₂-1）=k²[x₁x₂-（x₁+x₂）+1]=k²[$\frac{4（{k}^{2}-1）}{1+4{k}^{2}}$-$\frac{8{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$+1]=-$\frac{3{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$．②
由$\overrightarrow{OM}$⊥$\overrightarrow{ON}$，则$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$=0，即x₁x₂+y₁y₂=0（*），
将①②代入③式，得$\frac{4（{k}^{2}-1）}{1+4{k}^{2}}$+（-$\frac{3{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$）=$\frac{{k}^{2}-4}{1+4{k}^{2}}$=0，
解得k=±2，
∴存在直线l满足条件，且直线l的方程为2x-y-2=0或2x+y-2=0．

点评 本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，向量数量积的坐标运算，考查计算能力，属于中档题．