Question

5．过抛物线y²=x的焦点F的直线l交抛物线于A，B两点，且直线l的倾斜角$θ≥\frac{π}{4}$，点A在x轴的上方，则|FA|的取值范围是（$\frac{1}{4}$，1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$]．

Answer 1

分析 通过抛物线方程可知焦点F（$\frac{1}{4}$，0），一方面通过点A在x轴上方可知|FA|cosθ=x_A-$\frac{1}{4}$，一方面利用抛物线定义可知|FA|=x_A+$\frac{1}{4}$，联立消去x_A可知|FA|=$\frac{\frac{1}{2}}{1-cosθ}$，利用θ∈[$\frac{π}{4}$，π）计算即得结论．

解答 解：∵抛物线方程为y²=x，
∴其焦点F（$\frac{1}{4}$，0），
∵点A在x轴上方，
∴|FA|cosθ=x_A-$\frac{1}{4}$，
由抛物线定义可知：|FA|=x_A+$\frac{1}{4}$，
∴|FA|=$\frac{\frac{1}{2}}{1-cosθ}$，
∵θ∈[$\frac{π}{4}$，π），
∴cosθ∈（-1，$\frac{\sqrt{2}}{2}$]，
∴|FA|=$\frac{\frac{1}{2}}{1-cosθ}$∈（$\frac{1}{4}$，1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$]，
故答案为：（$\frac{1}{4}$，1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$]．

点评 本题考查抛物线的简单性质，注意解题方法的积累，属于中档题．