Question

15．若点P（x，y）满足x+y=1，则$\sqrt{{{（x+2）}^2}+{{（y-1）}^2}}+\sqrt{{x^2}+{y^2}}$的最小值为（　　）

• A． $\sqrt{5}$
• B． $\sqrt{7}$
• C． 3
• D． $\sqrt{13}$

Answer 1

分析 $\sqrt{{{（x+2）}^2}+{{（y-1）}^2}}+\sqrt{{x^2}+{y^2}}$表示直线x+y=1上的点P（x，y）到两点A（-2，1），B（0，0）的距离之和．设点B关于直线x+y=1的对称点为B′（x，y），则$\sqrt{{{（x+2）}^2}+{{（y-1）}^2}}+\sqrt{{x^2}+{y^2}}$≥|AB′|．

解答 解：$\sqrt{{{（x+2）}^2}+{{（y-1）}^2}}+\sqrt{{x^2}+{y^2}}$表示直线x+y=1上的点P（x，y）到两点A（-2，1），B（0，0）的距离之和．
设点B关于直线x+y=1的对称点为B′（x，y），
则$\left\{\begin{array}{l}{\frac{x}{2}+\frac{y}{2}=1}\\{\frac{y}{x}=1}\end{array}\right.$，解得x=y=1．
∴B′（1，1），
连接AB′交直线x+y=1于点P，
则点P即为所求．
∴$\sqrt{{{（x+2）}^2}+{{（y-1）}^2}}+\sqrt{{x^2}+{y^2}}$≥|AB′|=3．
故选：C．

点评 本题考查了轴对称的性质、中点坐标公式、相互垂直的直线斜率之间的关系、两点之间的距离之和，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．