Question

19．设集合W由满足下列两个条件的数列{a_n}构成：
①$\frac{{a}_{n}+{a}_{n+2}}{2}$＜a_n+1；  ②存在实数M，使a_n≤M．（n为正整数）．
在以下数列（1）{n²+1}；（2）{$\frac{2n+9}{2n+11}$}；  （3）{2+$\frac{4}{n}$}；（4）{1-$\frac{1}{{2}^{n}}$}中属于集合W的数列编号为（2）（4）．

Answer 1

分析 （1）数列{n²+1}是无界的，因此不存在实数M，使a_n≤M．（n为正整数），故不属于集合W．
（2）$\frac{2n+9}{2n+11}$=1-$\frac{2}{2n+11}$．作差a_n+a_n+2-2a_n+1=$\frac{-16}{（2n+11）（2n+13）（2n+15）}$＜0，因此满足：$\frac{{a}_{n}+{a}_{n+2}}{2}$＜a_n+1； 由于$\frac{2n+9}{2n+11}$=1-$\frac{2}{2n+11}$＜1．因此存在实数M=1，使a_n≤M．可得（2）属于集合W．
（3）作差a_n+a_n+2-2a_n+1＞0，因此不满足：$\frac{{a}_{n}+{a}_{n+2}}{2}$＜a_n+1； 故不属于集合W．
（4）a_n+a_n+2-2a_n+1=$\frac{2}{{2}^{n+1}}$-$\frac{1}{{2}^{n}}$-$\frac{1}{{2}^{n+2}}$=-$\frac{1}{{2}^{n+2}}$＜0，因此满足：$\frac{{a}_{n}+{a}_{n+2}}{2}$＜a_n+1； 由于1-$\frac{1}{{2}^{n}}$＜1．因此存在实数M=1，使a_n≤M．即可判断出结论．

解答 解：（1）数列{n²+1}是无界的，因此不存在实数M，使a_n≤M．（n为正整数），故不属于集合W．
（2）$\frac{2n+9}{2n+11}$=1-$\frac{2}{2n+11}$．
a_n+a_n+2-2a_n+1=$\frac{4}{2n+13}$-$\frac{2}{2n+11}$-$\frac{2}{2n+15}$=$\frac{-16}{（2n+11）（2n+13）（2n+15）}$＜0，因此满足：$\frac{{a}_{n}+{a}_{n+2}}{2}$＜a_n+1； 
由于$\frac{2n+9}{2n+11}$=1-$\frac{2}{2n+11}$＜1．因此存在实数M=1，使a_n≤M．
综上可得：（2）满足条件①②，属于集合W．
（3）a_n+a_n+2-2a_n+1=$\frac{4}{n}+\frac{4}{n+2}$-$\frac{8}{n+1}$=$\frac{8}{n（n+1）（n+2）}$＞0，因此不满足：$\frac{{a}_{n}+{a}_{n+2}}{2}$＜a_n+1； 故不属于集合W．
（4）a_n+a_n+2-2a_n+1=$\frac{2}{{2}^{n+1}}$-$\frac{1}{{2}^{n}}$-$\frac{1}{{2}^{n+2}}$=-$\frac{1}{{2}^{n+2}}$＜0，因此满足：$\frac{{a}_{n}+{a}_{n+2}}{2}$＜a_n+1； 
由于1-$\frac{1}{{2}^{n}}$＜1．因此存在实数M=1，使a_n≤M．综上可得：（4）满足条件①②，属于集合W．
故答案为：（2）（4）．

点评 本题考查了数列通项公式、作差法、新定义、数列的有界性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．