Question

14．已知f（x）是定义在[-1，1]上的奇函数，且f（1）=1，若a，b∈[-1，1]，a+b≠0时，有$\frac{f（a）+f（b）}{a+b}$＞0成立．
（1）判断f（x）在[-1，1]上的单调性，并用定义证明；
（2）解不等式：f（2x-1）＞f（x²-1）；
（3）若f（x）≤m²-3am+1对所有的a∈[-1，1]恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）设-1≤x₁＜x₂≤1，令a=x₁，b=-x₂，利用奇函数的性质即可化简得出f（x₁）＜f（x₂），得出结论；
（2）利用f（x）的单调性和定义域列不等式组解出；
（3）由题意可得m²-3am≥0恒成立，令g（a）=-3am+m²，讨论g（a）的单调性，令g_min（a）≥0即可得出m的范围．

解答 解：（1）f（x）在[-1，1]上为增函数，
证明：设x₁，x₂是[-1，1]上的任意两个数，且x₁＜x₂，
令a=x₁，b=-x₂，则$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＞0，
∵x₁-x₂＜0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
∴f（x）在[-1，1]上是增函数．
（2）由题意得：$\left\{\begin{array}{l}{2x-1＞{x}^{2}-1}\\{-1≤2x-1≤1}\\{-1≤{x}^{2}-1≤1}\end{array}\right.$，解得0＜x≤1，
（3）∵f（x）是增函数，且f（1）=1，
∴1≤m²-3am+1恒成立，即m²-3am≥0恒成立，
令g（a）=-3am+m²，则g_min（a）≥0，
①若m=0，则g（a）=0，显然符合题意；
②若m＞0，则g_min（a）=g（1）=-3m+m²≥0，解得m≥3，
③若m＜0，则g_min（a）=g（-1）=3m+m²≥0，解得m≤-3，
综上，m的取值范围是（-∞，-3]∪[3，+∞）∪{0}．

点评 本题考查了函数的单调性判断与应用，函数恒成立问题与函数最值的计算，属于中档题．