Question

7．已知点P是直线x-y-2=0上的动点，过点P作抛物线C：x²=2py（0＜p＜4）的两条切线，切点分别为A、B，线段AB的中点为M，连接PM，交抛物线C于点N，若$\overrightarrow{PM}$=λ$\overrightarrow{PN}$，则λ=2．

Answer 1

分析 求出切线方程，可得M的坐标，利用$\overrightarrow{PM}$=λ$\overrightarrow{PN}$，即可得出结论．

解答 解：设A（x₁，$\frac{1}{2p}$x₁²），B（x₂，$\frac{1}{2p}$x₂²），P（x₀，y₀）
由抛物线C：x²=2py得抛物线C的方程为y=$\frac{1}{2p}$x²，∴y′=$\frac{x}{p}$
∴PA：y-$\frac{1}{2p}$x₁²=$\frac{{x}_{1}}{p}$（x-x₁）①，PB：：y-$\frac{1}{2p}$x₂²=$\frac{{x}_{2}}{p}$（x-x₂）②
联立①②可得x₁，x₂是方程t²-2x₀t+2py₀=0的两个根，
∴x₁+x₂=2x₀，x₁x₂=2py₀，
线段AB的中点为M（x₀，$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{p}$-y₀），
又N（x₀，$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{2p}$），
∵$\overrightarrow{PM}$=λ$\overrightarrow{PN}$，∴$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{p}$-y₀-y₀=λ（$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{2p}$-y₀），∴λ=2．
故答案为2．

点评 本题以抛物线为载体，考查抛物线的标准方程，考查利用导数研究曲线的切线方程，考查计算能力，有一定的综合性．