Question

11．已知函数$f（x）=sin（{2x+\frac{π}{6}}）+2{cos^2}x$．
（1）作出函数y=f（x）在一个周期内的图象，并写出其单调递减区间；
（2）当$x∈[{0，\frac{π}{2}}]$时，求f（x）的最大值与最小值．

Answer 1

分析 （1）利用三角恒等变换化简函数f（x）为正弦型函数，按五个关键点列表，描点并用光滑的曲线连接成图，由图写出f（x）的单调递减区间；
（2）由（1）中所作的函数图象，求出f（x）在$x∈[{0，\frac{π}{2}}]$时的最值．

解答 解：（1）因为函数$f（x）=sin（{2x+\frac{π}{6}}）+2{cos^2}x$
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x+$\frac{1}{2}$cos2x+cos2x+1
=$\sqrt{3}（{\frac{1}{2}sin2x+\frac{{\sqrt{3}}}{2}cos2x}）+1$
=$\sqrt{3}（{sin2xcos\frac{π}{3}+cos2xsin\frac{π}{3}}）+1$
=$\sqrt{3}sin（{2x+\frac{π}{3}}）+1$，
所以$f（x）=\sqrt{3}sin（{2x+\frac{π}{3}}）+1$，
按五个关键点列表，得

$2x+\frac{π}{3}$	0	$\frac{π}{2}$	π	$\frac{3π}{2}$	2π
x	$-\frac{π}{6}$	$\frac{π}{12}$	$\frac{π}{3}$	$\frac{7π}{12}$	$\frac{5π}{6}$
y	1	$1+\sqrt{3}$	1	$1-\sqrt{3}$	1

描点并用光滑的曲线连接起来，得如下图：

由图可知f（x）的单调递减区间为$[{kπ+\frac{π}{12}，kπ+\frac{7π}{12}}]，k∈Z$；
（2）由（1）中所作的函数图象，可知
当$x=\frac{π}{12}$时，f（x）取得最大值$\sqrt{3}+1$；
当$x=\frac{π}{2}$时，f（x）取得最小值$-\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了三角恒等变换与五点法画图问题，是基础题．