Question

已知直线kx-y+1-k=0恒过定点A，若点A在直线mx+ny-1=0（m，n＞0）上，则

1

m

+

1

n

的最小值为

 

．

Answer 1

考点：基本不等式

专题：不等式的解法及应用

分析：把直线方程整理成点斜式，求得A点的坐标，代入直线mx+ny-1=0中，求得m+n的值，最后根据基本不等式求得

1

m

+

1

n

的最小值．

解答： 解：整理直线方程得y=k（x-1）+1，
∴点A的坐标为（1，1），
∵点A在直线mx+ny-1=0（m，n＞0）上，
∴m+n-1=0，即m+n=1，
∴

1

m

+

1

n

=

m+n

mn

=

1

mn

，
∵mn≤

(m+n)2

4

=

1

4

，m=n时取等号，
∴

1

mn

≥4，
即

1

m

+

1

n

的最小值为4，
故答案为：4．

点评：本题主要考查了基本不等式，直线方程问题，解题的关键时求得m+n的值．