Question

【题目】已知公差不为零的等差数列{an}的前n项和为Sn，S3＝15，a1，a4，a13成等比数列.

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）求数列的前n项和Tn大于2020的最小自然数n.

Answer 1

【答案】（1）an＝2n+1；（2）10.

【解析】

（1）设等差数列{an}的公差为d（d≠0），由题设条件列出d的方程，解出d，a1，求出通项公式；

（2）由（1）求得a，再使用分组求和求出Tn，研究其单调性，求出满足Tn大于2020的最小自然数n.

（1）设等差数列{an}的公差为d（d≠0），则S3＝3a115，

∴a1+d＝5，a4＝5+2d，a13＝5+11d，

∵a1，a4，a13成等比数列，

∴（5+2d）2＝（5d）（5+11d），解得d＝0（舍去）或d＝2，

故a1＝5d＝3.

所以an＝3+（n1）×2＝2n+1.

（2）根据（1）知a2（2nn）+1＝2n+1（2n1），

∴Tn＝（22+23+…+2n+1） [1+3+…+（2n1）]2n+2n24.

∵2nn＞0，

∴a2（2nn）+1＞0，

∴Tn单调递增，

又∵T9＜2020，T10＞2020，

所以Tn大于2020的最小自然数n为10.

【点晴】

本题主要考查等差数列基本量的运算，数列的分组求和，数列的单调性，属于中档题.