Question

【题目】已知椭圆：（）．下面表格所确定的点中，恰有三个点在椭圆上．

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（1）求椭圆的方程；

（2）已知为坐标原点，点，分别为的上下顶点，直线经过的右顶点，且与的另一个公共点为，直线，相交于点，若与轴的交点异于，，证明为定值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）详见解析.

【解析】

（1）点和点关于原点对称，此两点必在椭圆上，故有，将剩余两个点的坐标代入椭圆方程可得关于a与b的方程，与上式联立通过判断解的情况即可判断出那个点在椭圆上，进而求出方程；

（2）设直线l的方程为：，由题易得 ，联立直线l与椭圆E的方程得：，由韦达定理得到和的表达式，

设点，直线AC的方程为：，直线BD的方程为：，

联立直线AC的方程和直线BD的方程得到点N的坐标，进而求出向量，

而，即可证明为定值．

（1）点和点关于原点对称，此两点必在椭圆上，

故有①，

将点代入中得，，解得：，

再将代入①中得：，解得：；

再将点代入中得，②，联立①②得：，显然无解；

综上，，，所以椭圆的方程为：；

（2）由题意作图如下：

设直线l的方程为：，由条件知：，点，点，点，

则点，向量，

设点，

联立直线l与椭圆E的方程，消去y得：，

所以，

直线AC的方程为：③，

直线BD的方程为：④，

设点，由③④，得：，

又点在直线l上，所以：

，

则向量，

所以，

故为定值.