Question

【题目】设函数．

（Ⅰ）若，求在区间[-1,2]上的取值范围；

（Ⅱ）若对任意， 恒成立，记，求的最大值．

Answer 1

【答案】( Ⅰ) ；(Ⅱ) a-b的最大值是e.

【解析】试题分析：

（Ⅰ）题意就是要求函数在区间上的最大值和最小值，为此求出导函数，求出的解，确定函数在上的单调性，求出极值和区间端点处的函数值，比较可得最大值和最小值，即值域；（Ⅱ）由，即恒成立，可知，而，易知，即，而时，对两个参数分离一个出来，即，这样，下面我们只要求的最大值，同样利用导数可得，同样由导数知识求得函数的最大值即为最大值．

试题解析：

（Ⅰ）当时，，

，

的根是，且

当时，，当时，，

所以在（0,2）上单调递增，在（-1,0）上单调递减．

所以，，

所以在区间[-1,2]上的取值范围是．

（Ⅱ）恒成立，即恒成立，易知，

若，则，即，

若，由恒成立，即恒成立，

即恒成立，

令，则，当时，，

当时，，当时，，所以

在上单调递减，在上单调递增．

所以，

从而，，令，

因为，，

所以，是的极大值，

所以，故的最大值是．