Question

若对区间[a，b]上的任意x₁，x₂，当x₁＜x₂时，f（x₁）≤f（x₂），我们称f（x）在[a，b]上为不减函数．已知f（x）是定义在[0，1]上的不减函数，且满足f（0）=0，f（1-x）=1-f（x），f（1-

1

3

x）=1-

1

2

f（x），则f（

7

8

）的值为（　　）

• A、1
• B、

  3

  4

• C、

  5

  6

• D、

  7

  8

Answer 1

考点：抽象函数及其应用

专题：计算题,探究型

分析：根据条件f（1-x）=1-f（x），f（1-

1

3

x）=1-

1

2

f（x），可得：f（1-

1

3

x）=1-f（

1

3

x）=1-

1

2

f（x），
即f（

1

3

x）=

1

2

f（x），赋值求解即可．

解答： 解：对区间[a，b]上的任意x₁，x₂，当x₁＜x₂时，f（x₁）≤f（x₂），我们称f（x）在[a，b]上为不减函数．
∵f（x）是定义在[0，1]上的不减函数，且满足f（0）=0，f（1-x）=1-f（x），
∴f（1-

1

3

x）=1-f（

1

3

x）=1-

1

2

f（x），
即f（

1

3

x）=

1

2

f（x），
所以f（1-x）+f（x）=1与f（

1

3

x）=

1

2

f（x）同时成立，且x在[0，1]上，
∵f（0）=0，∴f（1）=1，
∴赋值可得：f（

1

2

）=

1

2

，f（

1

3

）=

1

2

f（1）=

1

2

，f（

3

8

）=

1

2

，f（

1

8

）=

1

2

×f（

3

8

）=

1

4

，
计算可得f（

7

8

）=1-

1

4

=

3

4

故选：B

点评：本题考查了抽象函数的应用，赋值计算给定的函数值，注意观察转化．