Question

已知关于x，y的二元一次不等式组

x+2y≤4 x-y≤1 x+2≥0

．
（1）求函数u=3x-y的最大值和最小值；
（2）求函数z=x+2y+2的最大值和最小值．

Answer 1

考点：简单线性规划

专题：不等式的解法及应用

分析：（1）作出不等式组对应的平面区域，利用u的几何意义即可求函数u=3x-y的最大值和最小值；
（2）作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义即可求函数z=x+2y+2的最大值和最小值．

解答： 解：（1）作出二元一次不等式组表示的平面区域，如图所示：

由u=3x-y，得y=3x-u，得到斜率为3，在y轴上的截距为-u，随u变化的一组平行线，
由图可知，当直线经过可行域上的C点时，截距-u最大，即u最小，
解方程组

x+2y=4 x+2=0

得C（-2，3），
∴u_min=3×（-2）-3=-9．
当直线经过可行域上的B点时，截距-u最小，即u最大，
解方程组

x+2y=4 x-y=1

得B（2，1），
∴u_max=3×2-1=5．
∴u=3x-y的最大值是5，最小值是-9．
（2）作出二元一次不等式组表示的平面区域，如图所示．

由z=x+2y+2，得y=-

1

2

x+

1

2

z-1，得到斜率为-

1

2

，在y轴上的截距为

1

2

z-1，随z变化的一组平行线，
由图可知，当直线经过可行域上的A点时，截距

1

2

z-1最小，即z最小，
解方程组

x-y=1 x+2=0

得A（-2，-3），
∴z_min=-2+2×（-3）+2=-6．
当直线与直线x+2y=4重合时，截距

1

2

 z-1最大，
即z最大，
∴z_max=4+2=6．
∴z=x+2y+2的最大值是6，最小值是-6．

点评：本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义是解决本题的关键．