Question

已知sin（2α+β）=3sinβ，设tanα=x，tanβ=y，记y=f（x）
（1）求f（x） 的表达式；
（2）定义正数数列{a_n}；a₁=

1

2

，a_n+1²=2a_n•f（a_n）（n∈N^*）．试求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

考点：数列与三角函数的综合

专题：新定义,点列、递归数列与数学归纳法

分析：（1）由sin（2α+β）=3sinβ，设tanα=x，tanβ=y，记y=f（x），进行角的变换从而求出解析式；
（2）根据定义正数数列{a_n}；a₁=

1

2

，a_n+1²=2a_n•f（a_n）（n∈N^*），证明{

1

an2

-2}是首项为2，公比为

1

2

的等比数列．

解答： 解：（1）由sin（2α+β）=3sinβ，得sin[（α+β）]=3sin[（α+β）-α]，
所以tan（α+β）=2tanα，
于是，

tanα+tanβ

1-tanαtanβ

=2tanα，即

x+y

1-xy

=2x，解得：y=

x

1+2x2

；
（2）因为a n+12=2a_nf（a_n）=

2an2

1+2an2

，
所以

1

an+12

=

1

2an2

+1，
即

1

an+12

-2=

1

2

(

1

an2

-2)，
因此，{

1

an2

-2}是首项为2，公比为

1

2

的等比数列．
所以

1

an2

-2=2(

1

2

)n-1，
故an=

2n-2 2n-1+1

．

点评：本题比较综合，考查函数的解析式的求法、数列的通项公式的求法，属于中档题．