Question

若函数f（x）=ax³+bx²+cx+d是奇函数，且f(x)极小值=f(-

3

3

)=-

2 3

9

．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求函数f（x）在[-1，m]（m＞-1）上的最大值；
（3）设函数g(x)=

f(x)

x2

，若不等式g(x)•g(kx)≥k2-

1

k

(k＞0)恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,函数解析式的求解及常用方法,导数在最大值、最小值问题中的应用

专题：导数的综合应用

分析：（1）根据奇函数的性质易得，b=d=0，又f(x)极小值=f(-

3

3

)=-

2 3

9

易得，

a=-1 c=1

；
（2）求出其导函数，找到其极值点，画出函数的大致图象；通过讨论m和极值点比较即可得到函数f（x）在[-1，m]（m＞-1）上的最大值；
（3）先把所求函数转化为函数F（x）=g（x）•g（kx）=（

1

x

-x）（

1

kx

-kx），通过讨论求出函数的单调性，再结合所问问题即可求出实数k的取值范围．

解答： 解：（1）∵函数f（x）=ax³+bx²+cx+d是奇函数，
∴

f(0)=0 f(-1)=-f(1)

解得，b=d=0，
∴f（x）=ax³+cx，f'（x）=3ax²+c，
∵f(x)极小值=f(-

3

3

)=-

2 3

9

，
∴f′(-

3

3

)=0．
∴

a-c=0 - 3 9 a- 3 3 c=- 2 3 9

解得，

a=-1 c=1

．
故f（x）=-x³+x
（2）∵f'（x）=-3x²+1=-3（x+

3

3

）（x-

3

3

）
∴f（x）在（-∞，-

3

3

），（

3

3

，+∞）上是减函数，在[-

3

3

，

3

3

]上是增函数
由f（x）=0解得x=±1，x=0，
如图所示，当-1＜m≤0时，
f（x）_max=f（-1）=0；
当0＜m＜

3

3

时，f（x）_max=f（m）=-m³+m
当m≥

3

3

时，f（x）_max=f(

3

3

)=

2 3

9

．
故f（x）_max=

0，-1＜m≤0 -m2+m，0＜m＜ 3 3 2 3 9 ，m≥ 3 3

（3）∵g(x)=

1

x

-x，
∴函数F（x）=g（x）•g（kx）
=（

1

x

-x）（

1

kx

-kx）
=

1

kx2

+kx2-k-

1

k

，
∵k＞0，
∴

1

kx2

+kx2≥2，
∴F(x)min=2-k-

1

k

∴F(x)≥k2-

1

k

恒成立，
只须F(x)min=2-k-

1

k

≥k2-

1

k

∴-2≤k≤1，
又∵k＞0
∴0＜k≤1．

点评：本题主要考查了函数的极值点，利用导数求闭区间上函数的最值以及用导数法研究函数的单调性及求函数的单调区间，是对导数知识的综合考查．