Question

双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1与曲线

x2

3a2

+

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的交点恰为某正方形的四个顶点，则双曲线的离心率为（　　）

• A、3
• B、2
• C、

  3

• D、

  2

Answer 1

考点：双曲线的简单性质,椭圆的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：求出两曲线的交点，由正方形的各边相等，得到a，b的关系，再由双曲线的a，b，c的关系，结合离心率公式，即可计算得到．

解答： 解：由双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1与曲线

x2

3a2

+

y2

b2

=1（a＞0，b＞0），
解得，x²=

3

2

a²，y²=

1

2

b²．
即有交点为A（

6

2

a，

2

2

b），B（-

6

2

a，

2

2

b），
C（-

6

2

a，-

2

2

b），D（

6

2

a，-

2

2

b），
由于交点恰为某正方形的四个顶点，
则|AB|=|BC|，
即为

6

a=

2

b，即b=

3

a，
c=

a2+b2

=2a，
则有离心率为e=

c

a

=2．
故选B．

点评：本题考查双曲线的方程和性质，考查离心率的求法，同时考查两曲线的交点问题，考查运算能力，属于基础题．