Question

14．在如图所示的平面图形中，已知CD=$\sqrt{2}$，∠BCA=45°，∠ACD=105°，∠CDB=15°，∠BDA=30°．
（Ⅰ）求△BCD的面积；
（Ⅱ）求AC，AB的长．

Answer 1

分析 （Ⅰ）推导出∠BCD=150°，∠DBC=15°，从而BC=DC=$\sqrt{2}$，△BCD的面积${S}_{△BCD}=\frac{1}{2}×BC×DC×sin∠BCD$，由此能求出结果．
（Ⅱ）先求出∠DAC=30°，∠ADC=45°，由此利用正弦定理能求出AC，利用余弦定理能求出出AB．

解答 解：（Ⅰ）∵CD=$\sqrt{2}$，∠BCA=45°，∠ACD=105°，∠CDB=15°，∠BDA=30°．
∴∠BCD=105°+45°=150°，∠DBC=15°，
∴BC=DC=$\sqrt{2}$，
∴△BCD的面积${S}_{△BCD}=\frac{1}{2}×BC×DC×sin∠BCD$=$\frac{1}{2}×\sqrt{2}×\sqrt{2}×sin120°$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
（Ⅱ）∠DAC=180°-（15°+30°）-105°=30°，∠ADC=30°+15°=45°，
由正弦定理得：$\frac{DC}{sin∠DAC}=\frac{AC}{sin∠ADC}$，
∴AC=$\frac{DC×sin∠ADC}{sin∠DAC}$=$\frac{\sqrt{2}×sin45°}{sin30°}$=2．
由余弦定理得：
AB=$\sqrt{A{C}^{2}+{BC}^{2}-2×AC×BC×cos∠ACB}$=$\sqrt{4+2-2×2×\sqrt{2}×cos45°}$=$\sqrt{2}$．

点评 本题考查三角形面积的求法，考查三角形边长的求法，考查正弦定理、余弦定理等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．