Question

已知函数f（x）=x³+x-2，
（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（1，0）处的切线的方程；
（Ⅱ）如果曲线y=f（x）的一条切线与直线y=4x-1平行，求切线方程．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的概念及应用

分析：（Ⅰ）先求出函数的导函数，再求函数在（1，0）处的导数即切线的斜率，代入点斜式方程，再化为一般式方程即可；
（Ⅱ）设切点为（x₀，y₀），利用导数的几何意义和相互平行的直线的斜率相等，即可得所求切线的斜率，再求出切点的坐标，代入点斜式方程，再化为一般式方程即可．

解答： 解：（Ⅰ）由题意得，f′（x）=3x²+1，
∴在点（1，0）处的切线的斜率k=4，
则在点（1，0）处的切线的方程是y=4（x-1），
即4x-y-4=0；
（Ⅱ）设切点为（x₀，y₀），
∵切线与直线y=4x-1平行，∴f′（x₀）=3x₀²+1=4，
解得x₀=1或-1，则y₀=0或-4，
则切点坐标是（1，0）或（-1，-4），
∴所求的切线方程为：y=4（x-1）或y+1=4（x+4），
即4x-y-4=0或4x-y+15=0．

点评：本题考查了利用导数的几何意义：即在某点处的导数即在该点处的切线的斜率，以及两直线平行时斜率满足的关系，难度不大．