Question

已知函数f（x）=lnx-ax²-x，a∈R．
（1）若函数y=f（x）在其定义域内是单调增函数，求实数a的取值范围；
（2）若函数y=f（x）的图象被点P（2，f（2））分成的两部分为c₁，c₂，（点P除外），该函数图象在点P处的切线为l，求证：当a=-

1

8

时，c₁，c₂分别完全位于直线l的两侧．
（3）试确定a的取值范围，使得曲线y=f（x）上存在唯一的点P，曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点P．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（1）先求出函数的定义域，再利用求导公式求出导数并化简，将条件转化为“2ax²+x-1≤0对任意的x＞0恒成立”，分离出常数a，利用二次函数的性质求出a的取值范围；
（2）依题意可求得f（x）在点x=2处的切线l方程，由题意设g(x)=lnx+

1

8

x2-x-(ln2-

3

2

)，得到g（2）=0，求出导数研究它的单调性，再判断出函数值与g（2）=0的关系，即可得到证明；
（3）设切点P（x₀，f（x₀）），并判断出x₀＞0，再求出在点P处的切线方程，根据题意设g（x）=f（x）-[f′（x₀）（x-x₀）+f（x₀）]，并有切点的性质得g（x₀）=0，由（1）求出g′（x）化简后求出临界点，对a进行分类讨论，再利用导数求出函数的单调区间，判断出方程g（x）=0的根的个数，当a＜0时需要对g（x）进行二次求导，并对x₀进行分类讨论，根据g（x）的单调性，逐一探究方程g（x）=0的根的个数．

解答： 解：（1）由题意得，函数的定义域是（0，+∞）
f′(x)=

1

x

-2ax-1=-

2ax2+x-1

x

(x＞0)，------------（2分）
只需要2ax²+x-1≤0，即2a≤

1

x2

-

1

x

=(

1

x

-

1

2

)2-

1

4

，
解得，a≤-

1

8

．---------------------------------------（4分）
（2）证明：把a=-

1

8

代入得，数f（x）=lnx+

1

8

x²-x，
∴f′(x)=

1

x

+

1

4

x-1，且f′（2）=0，f（2）=ln2-

3

2

，
∴切线l的方程为y=ln2-

3

2

．--------------------------------------------（6分）
令g(x)=lnx+

1

8

x2-x-(ln2-

3

2

)，则g（2）=0．
∵g′(x)=

1

x

+

1

4

x-1=

( x 2 -1)2

x

≥0，---------------------------------（8分）
∴g（x）是单调增函数，
当x∈（2，+∞）时，g（x）＞g（2）=0；
当x∈（0，2）时，g（x）＜g（2）=0，
∴c₁，c₂分别完全位于直线l的两侧．--------------------------（10分）
（3）设切点P（x₀，f（x₀）），由函数的定义域知x₀＞0，
则曲线y=f（x）在点P处的切线为l：y=f′（x₀）（x-x₀）+f（x₀），
令g（x）=f（x）-[f′（x₀）（x-x₀）+f（x₀）]，
∵切点P在切线l上，也在曲线上，∴g（x₀）=0，
∵g′（x）=f′（x）-f′（x₀），f′(x)=

1

x

-2ax-1（x＞0），
∴g′(x)=

1

x

-2ax-(

1

x0

-2ax0)，
则g′(x)=-

(x-x0)(2ax0x+1)

x0x

，且g′（x₀）=0，
①当a≥0时，?x∈（0，x₀），g'（x）＞0；?x∈（x₀+∞），g'（x）＜0，
∴g（x）在（0，x₀）上单调递增，在（x₀，+∞）上单调递减，
∴g（x）=0只有唯一解x₀，而x₀是任意选取的值，故不满足题意；----（12分）
②当a＜0时，g″(x)=f″(x)=-

1

x2

-2a，记g″(m)=-

1

m2

-2a=0，则m=

- 1 2a

．
（i）若x₀=m，则g'（x）在（0，x₀）上单调递减，在（x₀，+∞）上单调递增，
g'（x）≥g'（x₀）=0，
∴g（x）在（0，+∞）上单调递增，∴g（x）=0只有唯一解x=

- 1 2a

，
（ii）若x₀＜m，则?（0，m），g''（x）＜0；?（m，+∞），g''（x）＞0，
∴g'（x）在（0，m）上单调递减，在（m，+∞）上单调递增
此时存在x₁∈（m，+∞），使得g'（x₁）=0，
∴?（0，x₀）∪（x₁，+∞），g'（x）＞0；?（x₀，x₁），g'（x₁）＜0，
∴g'（x）在（0，x₀）和（x₁，+∞）上单调递增，在（x₀，x₁）上单调递减，
此时存在x₂∈（x₁，+∞），使得g（x₂）=0，∴g（x）有两个零点．
（iii）若x₀＞m，
则?（0，m），g''（x）＜0；?（m，+∞），g''（x）＞0，
∴g'（x）在（0，m）上单调递减，在（m，+∞）上单调递增
此时存在x₁∈（0，m），使得g'（x₁）=0，
∴?（0，x₁）∪（x₀，+∞），g'（x）＞0；?（x₁，x₀），g'（x₁）＜0，
∴g'（x）在（0，x₁）和（x₀，+∞）上单调递增，在（x₁，x₀）上单调递减
此时存在x₂∈（0，x₁），使得g（x₂）=0，∴g（x）有两个零点．
综上所述，当a＜0时，曲线y=f（x）上存在唯一的点P(

- 1 2a

，f(

- 1 2a

))，
曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点P．----------------------------（16分）

点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性、最值，导数的几何意义以及图象问题，体现了分类讨论和转化的思想方法．考查了构造法和二次求导判断函数的单调性的应用，以及学生观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题的能力，综合性较强，计算量大，难度较大，对能力要求较高．