Question

求凼数y=（sinx+a）（cosx+a）（0＜a≤

2

）的最值．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用

专题：三角函数的图像与性质

分析：利用换元法，结合一元二次函数的性质即可求出函数的最值．

解答： 解：y=（sinx+a）（cosx+a）=sinxcosx+a（sinx+cosx）+a²，
令sinx+cosx=t，则t=sinx+cosx=

2

sinx（x+

π

4

）∈[-

2

，

2

]，
则sinxcosx=

t2-1

2

，
则函数等价为y=g（t）=

t2-1

2

+at+a²=

1

2

（t+a）²+

a2-1

2

，
∵0＜a≤

2

，t∈[-

2

，

2

]，
∴对称轴x=-a∈[-

2

，0），
∴当t=-a时，函数取得最小值为y_min=

a2-1

2

，
当t=

2

时，函数取得最大值为y_max=a²+

2

a+

1

2

．

点评：本题主要考查三角函数的最值求解，利用换元法，结合一元二次函数的性质是解决本题的关键．