Question

定义域为[a，b]的函数y=f（x）的图象的两个端点A、B，M（x，y）是f（x）图象上任意一点，其中x=λa+（1-λ）b（λ∈R），向量

ON

=λ

OA

+（1-λ）

OB

，其中O为坐标原点，若不等式|

MN

|≤k恒成立，则称函数f（x）在[a，b]上“k阶线性近似”．若函数y=x+

1

x

在[1，2]上“k阶线性近似”，则实数k的取值范围为（　　）

• A、[0，+∞）
• B、[1，+∞）
• C、[

  3

  2

  -

  2

  ，+∞）
• D、[

  3

  2

  +

  2

  ，+∞）

Answer 1

考点：平面向量的基本定理及其意义

专题：函数的性质及应用,平面向量及应用

分析：根据已知条件可求出A（1，2），B(2，

5

2

)，并且可求出直线AB的方程为y=

1

2

(x+3)，求出M，N两点的坐标，容易发现横坐标相同，并根据已知条件知N点在直线AB上，所以得到|

MN

|=|

x

2

+

1

x

-

3

2

|．可通过导数的方法求得

x

2

+

1

x

的范围为[

2

，

3

2

]，所以便得到|

MN

|=

3

2

-(

x

2

+

1

x

)≤

3

2

-

2

，所以只需k≥

3

2

-

2

．

解答： 解：由题意知a=1，b=2，所以A（1，2）B(2，

5

2

)；
∴直线AB的方程为y=

1

2

(x+3)；
∵x_M=λ+2（1-λ）=2-λ；

ON

=λ(1，2)+(1-λ)(2，

5

2

)=(2-λ，

5

2

-

λ

2

)；
∴M，N两点的横坐标相同，且点N在直线AB上；
∴|

MN

|=|yM-yN|=|x+

1

x

-

1

2

(x+3)|=|

x

2

+

1

x

-

3

2

|；
∵

x

2

+

1

x

≥2

x 2 • 1 x

=

2

，

x

2

+

1

x

≤

3

2

；
∴|

MN

|=

3

2

-(

x

2

+

1

x

)≤

3

2

-

2

；
∴要使|

MN

|≤k恒成立，则k≥

3

2

-

2

；
∴实数k的取值范围为[

3

2

-

2

，+∞]．
故选C．

点评：考查直线的点斜式方程，向量坐标的加法及数乘运算，根据

ON

=λ

OA

+(1-λ)

OB

可判断出点N，A，B共线，以及对k阶线性近似概念的理解与运用，基本不等式．