题目内容
在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1=2，二面角B-AA1-C1的大小等于60°，B到面AC1的距离等于
，C1到面AB1的距离等于2
，则直线BC1与直线AB1所成角的正切值等于（ ）
| 3 |
| 3 |
A、
| ||
B、
| ||
C、
| ||
| D、2 |
考点：异面直线及其所成的角
专题：计算题,空间位置关系与距离,空间角
分析：运用线面垂直的性质结合二面角的定义可得二面角B-AA1-C1的平面角即为∠BAC，且为60°，由面面垂直的性质定理可得B到AC的距离为
，C到AB的距离为2
，即可得到BC=2
，AB=2，∠ABC=90°，再由向量
BC1与AB1的数量积及夹角公式求出余弦值，由同角的平方关系和商数关系，即可计算得到正切值．
| 3 |
| 3 |
| 3 |
BC1与AB1的数量积及夹角公式求出余弦值，由同角的平方关系和商数关系，即可计算得到正切值．
解答：
解：直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，则AA1⊥AB，AA1⊥AC，
则二面角B-AA1-C1的平面角即为∠BAC，且为60°，
B到面AC1的距离等于
，由于侧面和底面垂直，
由面面垂直的性质定理可得，即为B到AC的距离为
，
同样C1到面AB1的距离等于2
，即为C到AB的距离为2
，
在三角形ABC中，可得BC=2
，AB=2，∠ABC=90°，
则
•
=（
-
）•（
+
）=
2+
•
-
•
-
•
=4+0-0-0=4，
|
|=
=2
，|
|=
=4，
则cos＜
，
＞=
=
=
．
则sin＜
，
＞=
=
，
即有tan＜
，
＞=
=
．
故选：A．
解：直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，则AA1⊥AB，AA1⊥AC，则二面角B-AA1-C1的平面角即为∠BAC，且为60°，
B到面AC1的距离等于
| 3 |
由面面垂直的性质定理可得，即为B到AC的距离为
| 3 |
同样C1到面AB1的距离等于2
| 3 |
| 3 |
在三角形ABC中，可得BC=2
| 3 |
则
| AB1 |
| BC1 |
| BB1 |
| BA |
| BB1 |
| BC |
| BB1 |
| BB1 |
| BC |
| BA |
| BB1 |
| BA |
| BC |
=4+0-0-0=4，
|
| AB1 |
| 4+4 |
| 2 |
| BC1 |
| 4+12 |
则cos＜
| AB1 |
| BC1 |
| ||||
|
|
| 4 | ||
2
|
| ||
| 4 |
则sin＜
| AB1 |
| BC1 |
1-
|
| ||
| 4 |
即有tan＜
| AB1 |
| BC1 |
| ||||
|
| 7 |
故选：A．
点评：本题考查异面直线所成角的求法：向量法，考查二面角的平面角的定义，考查空间直线和平面的位置关系，考查运算能力，属于中档题．
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-
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=2
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| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| FP |
| PQ |
| A、（1，3） |
| B、（3，+∞） |
| C、（1，2） |
| D、（2，+∞） |