在数列{an}中.a1+2a2++22a3+-2n-1an=(n•2n-2n+1)t对任意n∈N*成立.其中常数t＞0．若关于n的不等式$\frac{1}{{a} {2}}$+$\frac{1}{{a} {4}}$+$\frac{1}{{a} {8}}$+-+$\frac{1}{{a} {{2}^{n}}}$＞$\frac{m}{{a} {1}}$的解集为{n|n≥4.n� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

1．在数列{a_n}中，a₁+2a₂++2²a₃+…2^n-1a_n=（n•2ⁿ-2ⁿ+1）t对任意n∈N^*成立，其中常数t＞0．若关于n的不等式$\frac{1}{{a}_{2}}$+$\frac{1}{{a}_{4}}$+$\frac{1}{{a}_{8}}$+…+$\frac{1}{{a}_{{2}^{n}}}$＞$\frac{m}{{a}_{1}}$的解集为{n|n≥4，n∈N^*}，则实数m的取值范围是[$\frac{7}{8}$，$\frac{15}{16}$）．

分析由已知等式，再写一式，两式相减，即可证明数列{a^_n}的通项；关于n的不等式$\frac{1}{{a}_{2}}$+$\frac{1}{{a}_{4}}$+$\frac{1}{{a}_{8}}$+…+$\frac{1}{{a}_{{2}^{n}}}$＞$\frac{m}{{a}_{1}}$化简为$\frac{1}{t}（1-\frac{1}{{2}^{n}}）＞\frac{m}{t}$．已知t＞0，结合函数的单调性，即可求b和c的取值范围．

解答解：当n≥2时，a₁+2a₂++2²a₃+…2^n-1a_n=（n•2ⁿ-2ⁿ+1）t…①
得a₁+2a₂++2²a₃+…2^n-2a_n-1=[（n-1）•2^n-1-2^n-1+1）t…②
将①，②两式相减，得 2^n-1 a_n=（n•2ⁿ-2ⁿ+1）t-[（n-1）•2^n-1-2^n-1+1]t，
化简，得a_n=nt，其中n≥2．…（5分）
因为a₁=t，所以a_n=nt，其中n∈N^*．
∴${a}_{{2}^{n}}={2}^{n}t$．
∴$\frac{1}{{a}_{2}}$+$\frac{1}{{a}_{4}}$+$\frac{1}{{a}_{8}}$+…+$\frac{1}{{a}_{{2}^{n}}}$=$\frac{1}{2t}+\frac{1}{4t}+\frac{1}{8t}+…+\frac{1}{{2}^{n}t}$=$\frac{1}{t}×\frac{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{2}^{n}}）}{1-\frac{1}{2}}=\frac{1}{t}（1-\frac{1}{{2}^{n}}）$
又∵$\frac{1}{{a}_{1}}=\frac{1}{t}$，则关于n的不等式$\frac{1}{{a}_{2}}$+$\frac{1}{{a}_{4}}$+$\frac{1}{{a}_{8}}$+…+$\frac{1}{{a}_{{2}^{n}}}$＞$\frac{m}{{a}_{1}}$化简为$\frac{1}{t}（1-\frac{1}{{2}^{n}}）＞\frac{m}{t}$．
当t＞0时，考察不等式为$\frac{1}{t}（1-\frac{1}{{2}^{n}}）＞\frac{m}{t}$．的解，
由题意，知不等式1-$\frac{1}{{2}^{n}}$＞m的解集为{n|n≥4，n∈N^*}，
因为函数y=1-$\frac{1}{{2}^{x}}$在R上单调递增，所以只要求1-$\frac{1}{{2}^{4}}＞m$ 且1-$\frac{1}{{2}^{3}}$≤m即可，∴$\frac{7}{8}≤m＜\frac{15}{16}$．
所以，实数m的取值范围是[$\frac{7}{8}，\frac{15}{16}$）．
故答案为：[$\frac{7}{8}，\frac{15}{16}$）．