Question

20．如图，在平行四边形OABC中，O为坐标原点，过点C（1，3）作CD⊥AB于点D，
（1）求CD所在直线的方程；
（2）当D（4，2）时，求△OCD外接圆的方程．

Answer 1

分析 （1）根据题意，由直线的斜率公式可得K_OC，进而可得CD所在直线的斜率为K_CD，由直线的点斜式方程计算可得答案；
（2）设△OCD外接圆方程为（x-a）²+（y-b）²=r²，由圆所过点的坐标可得$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}+{b}^{2}={r}^{2}}\\{（1-a）^{2}+（3-b）^{2}={r}^{2}}\\{（4-a）^{2}+（2-b）^{2}={r}^{2}}\end{array}\right.$，解可得a、b、r²的值，将其代入圆的标准方程即可得答案．

解答 解：（1）根据题意，∵点O（0，0），点C（1，3），
∴OC所在直线的斜率为K_OC=$\frac{3-0}{1-0}$=3．
在平行四边形OABC中，AB∥OC，
∵CD⊥AB，∴CD⊥OC．∴CD所在直线的斜率为K_CD=-$\frac{1}{3}$，
∴CD所在直线方程为y-3=-$\frac{1}{3}$（x-1），即x+3y-10=0；
（2）设△OCD外接圆方程为（x-a）²+（y-b）²=r²，
圆过O（0，0）、C（1，3）、D（4，2），
则有$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}+{b}^{2}={r}^{2}}\\{（1-a）^{2}+（3-b）^{2}={r}^{2}}\\{（4-a）^{2}+（2-b）^{2}={r}^{2}}\end{array}\right.$，
解可得a=2，b=1，r²=5，
故所求圆方程：（x-2）²+（y-1）²=5．

点评 本题考查直线的方程与圆的标准方程求法，注意直线的平行与垂直和直线的斜率的关系．